\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

February 22, 2026

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

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解: \(\sin^4 x + \cos^4 x\) の最小値を見つけるために、まずこの式をより簡単な形に表現することから始めます。次の恒等式を使用します:
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) なので、この式は次のように簡略化されます:
\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x
\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x
\(\sin^2 2x\) の範囲は \([0, 1]\) です。したがって、\(\frac{1}{2} \sin^2 2x\) の最大値は \(\frac{1}{2}\) であり、\(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\) の最小値は、\(\sin^2 2x = 1\) のときに達成されます:

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